Большая советская энциклопедия - поверхностный интеграл
Поверхностный интеграл
поверхностный интеграл
Поверхностный интеграл, интеграл от функции, заданной на какой-либо поверхности. К П. и. приводит, например, задача вычисления массы, распределенной по поверхности S с переменной поверхностной плотностью f (M). Для этого разбивают поверхность на части s1, s2,..., sn и выбирают в каждой из них по точке Mi. Если эти части достаточно малы, то их массы приближенно равны f (Mi) si, а масса всей поверхности будет равна . Это значение тем ближе к точному, чем меньше части si. Поэтому точное значение массы поверхности есть , где предел берется при условии, что размеры всех частей si (и их площади) стремятся к нулю. К аналогичным пределам приводят и другие задачи физики. Эти пределы называют П. и. первого рода от функции f (M) по поверхности S и обозначают Их вычисление приводится к вычислению двойных интегралов (см. Кратный интеграл). В некоторых задачах физики, например при определении потока жидкости через поверхность S, встречаются пределы аналогичных сумм с той лишь разницей, что вместо площадей самих частей стоят площади их проекций на три координатные плоскости. При этом поверхность S предполагается ориентированной (т. е. указано, какое из направлений нормалей считается положительным) и площадь проекции берется со знаком + или — в зависимости от того, является ли угол между положительным направлением нормали и осью, перпендикулярной плоскости проекций, острым или тупым. Пределы сумм такого вида называют П. и. второго рода (или П. и. по проекциям) и обозначают В отличие от П. и. первого рода, знак П. и. второго рода зависит от ориентации поверхности S. М. В. Остроградский установил важную формулу, связывающую П. и. второго рода по замкнутой поверхности S с тройным интегралом по ограниченному ею объему V (см. Остроградского формула). Из этой формулы следует, что если функции Р, Q, R имеют непрерывные частные производные и в объеме V выполняется тождество , то П. и. второго рода по всем поверхностям, содержащимся в V и имеющим один и тот же контур, равны между собой. В этом случае можно найти такие функции P1, Q1, R1, что , , . Стокса формула выражает криволинейный интеграл по замкнутому контуру через П. и. второго рода по ограниченной этим контуром поверхности. Лит.: Никольский С. М., Курс математического анализа, т. 2, М., 1973: Ильин В. А., Позняк Э. Г., Основы математического анализа, ч. 2, М., 1973; Кудрявцев Л. Д., Математический анализ, 2 изд., т. 2, М., 1973.
Рейтинг статьи:
Комментарии:
См. в других словарях
1.
интеграл от функции, заданной на какой-либо поверхности. При некоторых условиях его можно свести к тройному интегралу (Остроградского формула). ...Большой энциклопедический словарь
Вопрос-ответ:
Похожие слова
Ссылка для сайта или блога:
Ссылка для форума (bb-код):
Самые популярные термины
1 | 4927 | |
2 | 3046 | |
3 | 3018 | |
4 | 2845 | |
5 | 2840 | |
6 | 2802 | |
7 | 2741 | |
8 | 2726 | |
9 | 2611 | |
10 | 2535 | |
11 | 2358 | |
12 | 2234 | |
13 | 2191 | |
14 | 2188 | |
15 | 2158 | |
16 | 2075 | |
17 | 2067 | |
18 | 2051 | |
19 | 2038 | |
20 | 1993 |